特征向量的求法举例

在数学和计算机科学中，特征向量是一个非常重要的概念，尤其在矩阵分析、机器学习等领域有着广泛应用。本文将通过一个具体的例子，介绍如何求解矩阵的特征向量。

假设我们有一个2×2的矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)。我们的目标是找到矩阵 \( A \) 的特征值和对应的特征向量。

第一步：计算特征值

特征值的定义是满足方程 \( |A - \lambda I| = 0 \)，其中 \( \lambda \) 是特征值，\( I \) 是单位矩阵。首先，我们需要计算矩阵 \( A - \lambda I \)：

\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix} \]

接下来，计算其行列式 \( |A - \lambda I| \)：

\[ |A - \lambda I| = (3-\lambda)(3-\lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 \]

令其等于零，得到特征值方程：

\[ \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 \]

解这个二次方程，得到特征值为 \( \lambda_1 = 4 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)。

第二步：求特征向量

对于特征值 \( \lambda_1 = 4 \)

代入 \( A - \lambda_1 I \)：

\[ A - 4I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \]

要求解方程 \( (A - 4I)x = 0 \)，即：

\[ \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

化简后得到 \( -x_1 + x_2 = 0 \)，即 \( x_1 = x_2 \)。因此，特征向量可以表示为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)（任意倍数均可）。

对于特征值 \( \lambda_2 = 2 \)

同样代入 \( A - \lambda_2 I \)：

\[ A - 2I = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]

要求解方程 \( (A - 2I)x = 0 \)，即：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

化简后得到 \( x_1 + x_2 = 0 \)，即 \( x_1 = -x_2 \)。因此，特征向量可以表示为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)（任意倍数均可）。

总结

通过上述步骤，我们成功求出了矩阵 \( A \) 的两个特征值 \( \lambda_1 = 4 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)，以及对应的特征向量分别为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。这一过程展示了如何系统地求解特征值与特征向量，为后续的应用奠定了基础。