矩阵运算是线性代数的重要组成部分，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。本文将简要介绍矩阵运算的基本公式和性质。

首先，矩阵加法要求两个矩阵具有相同的行数和列数。若A = [a_ij]和B = [b_ij]为两个m×n矩阵，则它们的和C = A + B定义为：c_ij = a_ij + b_ij。矩阵加法满足交换律（A + B = B + A）和结合律（(A + B) + C = A + (B + C)）。

矩阵与标量的乘法非常简单，若k是标量，A = [a_ij]是m×n矩阵，则kA = [ka_ij]。这种运算保持矩阵的维度不变，并且对每个元素进行单独操作。

矩阵乘法则更为复杂。假设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，则它们的乘积C = AB是一个m×p矩阵，其元素c_ij由下式给出：c_ij = Σ(a_ik b_kj)，其中求和从k=1到n。矩阵乘法不满足交换律，即AB ≠ BA，但满足结合律（(AB)C = A(BC)）。

转置是一种基本的操作，若A = [a_ij]是一个m×n矩阵，则其转置A^T = [a_ji]是一个n×m矩阵。转置具有以下性质：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，(AB)^T = B^TA^T。

逆矩阵仅适用于方阵。若A是一个n×n矩阵，且存在一个n×n矩阵B使得AB = BA = I_n（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。逆矩阵的存在依赖于A的行列式det(A) ≠ 0。逆矩阵的主要性质包括：(A^-1)^-1 = A，(AB)^-1 = B^-1A^-1，(A^T)^-1 = (A^-1)^T。

最后，矩阵的秩是指矩阵中线性无关行或列的最大数量。它反映了矩阵所包含的信息量，并在解决线性方程组时起关键作用。

这些基本的矩阵运算构成了更复杂数学模型的基础，为科学研究提供了强大的工具。